Фрактал (лат. fractus – дроблёный, сломанный, разбитый) – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Фрактал – Снежинка Коха
Фракталы встречаются и в природе:
Подробнее о фракталах: http://elementy.ru/posters/fractals/fractals.
Самый известный фрактал в математике – множество Мандельброта.
Множество Мандельброта – это множество таких точек c на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность z0=0, zn=zn-1²+c (n=1, 2, 3, …) не уходит на бесконечность.
Итак:
На первом шаге итерации: z0=0.
На втором шаге итерации: z1 = z0²+c = c.
На третьем шаге итерации: z2 = z1²+c = c² + c.
На четвёртом шаге итерации: z3 = z2² + c = (c² + c)²+ c.
На пятом шаге итерации: z4 = z3²+c = ((c² + c)² + c)²+c.
И т.д.
с = x + iy, где i = √(-1) – мнимая единица.
Изучать множество Мандельброта можно бесконечно, обнаруживая всё более удивительные узоры:
Изучить множество Мандельброта сейчас.
Тем, кто всё ещё не знаком с такой замечательной и полезной вещью, объясняю два способа на примере дзета-функции Римана:
Суть в том, что ничего о самой дзета-функции вам знать не надо.
Допустим, у нас есть некая закономерность, которая описывается очень сложной математической функцией y(x). Для не математиков такие функции обычно аппроксимированы в табличные значения. Интерполяция позволяет работать с этими данными, когда вам необходимо получить промежуточное значение, которого нет в таблице.
Аппроксимированный участок функции (точками показаны табличные данные):
Обозначим искомое значение y0, а саму точку, в которой функция y(x) его принимает – x0.
Дано: y1, y2, x1, x2, x0.
Требуется найти: y0.
Аналитический метод
Представим отрезок аппроксимированной функции между точками (x1; y1) и (x2; y2) в виде отрезка линейной функции y = kx+b.
Тогда имеем систему уравнений:
y1 = kx1+b;
y2 = kx2+b.
Решая её, находим k и b.
Для этого из первого уравнения выражаем b через k:
b = y1 – kx1.
Подставляем значение b во второе уравнение:
y2 = kx2+ y1 – kx1.
Выражаем k через известные y1, y2, x1, x2:
k = (y2 – y1) / (x2 – x1).
Подставляем найденное k в выражение b:
b = y1 – [(y2 – y1) / ( x2 – x1)] × x1.
Подставляем найденные коэффициенты b, k и заданное x0 в уравнение y = kx+b:
y0 = kx0+b = [(y2 – y1) / (x2 – x1)] × x0+ y1 – [(y2 – y1) / (x2 – x1)] × x1.
Геометрический метод
Геометрический метод основан на простом и понятном принципе подобия треугольников. Для начала вычтем из большей ординаты меньшую. Получим два подобных прямоугольных треугольника:
- большой x1А12x2 с катетами x2А12 длиной (x2 – x1) и А12x1 длиной (y1 – y2);
- малый x2А0x0 с катетами x2A0 длиной (x2 – x0) и A0x0 неизвестной длины y01.
Из подобия треугольников следует соотношение:
(y1 – y2) / y01 = (x2 – x1) / (x2 – x0).
Откуда выражаем неизвестную y01:
y01 = (y1 – y2) × (x2 – x0) / (x2 – x1).
Тогда искомая ордината будет равна:
y0 = y2 + y01 = y2 + (y1 – y2) × (x2 – x0) / (x2 – x1).
Есть такой миф, согласно которому, после смерти человек теряет 21 г своей массы – и якобы столько весит человеческая душа.
Не стану развенчивать то, что опровергнуть невозможно. Давайте просто сверимся с реальностью и произведём собственные (проверяемые) расчёты, чтобы понять, почему наукой не зафиксировано даже самого факта потери массы.
Для этого сразу исключим две возможности:
1. потеря массы происходит в результате опорожнения кишечника вследствие его расслабления – этот случай нас не интересует;
2. закон сохранения массы может быть нарушен – природа на фундаментальном уровне сама ставит нам такое ограничение. Напомню так же, что ЗСМ – частный случай закона сохранения энергии.
Поэтому для сверки с реальностью мы будем отталкиваться от того простого факта, что потеря массы может происходить только одним способом – посредством излучения энергии. Сторонники мифа могут утверждать, что эту энергию невозможно зафиксировать никакими измерительными приборами. Что ж, тогда давайте посчитаем, какое количество энергии должно выделиться, чтобы потерять по массе 21 г.
Воспользуемся самой известной в мире формулой, связывающей массу с энергией:
E = mc².
Умножив 0,021 кг на квадрат скорости света, получим энергию в Джоулях:
0,021 [кг] × 299 792 458² [м²/с²] = 1,89×1015 [кг× м²/с²] = 1,89×1015 [Дж].
Переведём это в более наглядные килокалории:
1,89×1015 [Дж] / 4,1868 [кал/Дж] / 1000 [ккал/кал] = 4,51×1011 [ккал] = 451 млрд [ккал].
И в ещё более наглядную единицу измерения – тротиловый эквивалент:
1,89×1015 [Дж] / (4,1840×1012) [кт ТНТ/Дж] = 451 [кт ТНТ].
Таким образом, согласно мифу, после смерти человек выделяет энергию, в тротиловом эквиваленте равную почти 0,5 мегатонн. Что примерно в 30 раз мощнее атомной бомбы, сброшенной на Хиросиму.
Очень сомнительно, что такое количество энергии невозможно зафиксировать никакими измерительными приборами. В лучшем случае, мы бы только ослепли.
Laser Interferometer Space Antenna (лазерная интерференционная космическая антенна) – детектор гравитационных волн – амбициозный проект NASA и Европейского космического агентства. Планируемый срок ввода в эксплуатацию – 2020 г. В свете последних событий ожидается, что LISA подтвердит существование гравитационных волн.
LISA представляет собой три космических аппарата в вершинах правильного треугольника с длинной стороны 5 млн. км.
Официальная страничка LISA: http://lisa.nasa.gov/
Вики: http://ru.wikipedia.org/wiki/LISA
Подробная карта Вселенной в микроволновом спектре электромагнитного излучения (составлена по данным космического зонда WMAP в 2003 г.)
Космический микроволновый фон (реликтовое излучение) – остаточное излучение Большого взрыва. Предсказан Теорией Большого взрыва и является её убедительным подтверждением. Ваш телевизор принимает сигнал КМФ в виде ряби на ненастроенном канале. Был открыт случайно – в качестве источника радиопомех (подробнее об открытии КМФ см. здесь: http://znaniya-sila.narod.ru/universe/uni000_01.htm).
Разница температур самой горячей и самой холодной области на карте составляет всего порядка 10–4 °C. В рамках Теории Большого взрыва объяснить такое почти равномерное распределение остаточного излучения энергии Большого взрыва невозможно. Для этого теория была дополнена инфляционной моделью.
Неоднородности в распределении излучения говорят о возможно квантовой природе рождения Вселенной, что лишний раз подчёркивает необходимость объединения гравитации с квантовой механикой (через Теорию квантовой гравитации).
Под задней крышкой вашего мобильного телефона на лицевой стороне аккумулятора написано Li-ion, что означает литий-ионный.
В химии символом Li обозначается литий – химический элемент с атомным номером 3 в периодической системе химических элементов Менделеева, мягкий щелочной металл серебристо-белого цвета.
В математике li (x) – это функция интегрального логарифма:
График функции интегрального логарифма:
Как видно из графика, при x=1 функция имеет сингулярность (характерную точку, в которой функция не имеет производной).
Для устранения сингулярности в практических целях иногда используется сдвинутый интегральный логарифм:
Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел, не превосходящих заданного числа.
Так что под задними крышками ваших мобильных телефонов скрыта сила, о которой вы даже не догадывались.
В рамках Стандартной модели (график a) возможно объединение электромагнетизма и слабого ядерного взаимодействия в единое электрослабое
взаимодействие (пересечение красной и жёлтой линий). Объединение двух из четырёх фундаментальных сил природы называется «Теорией электрослабого объединения».
Сильное ядерное взаимодействие (ультрафиолетовая линия) удаётся присоединить к электрослабому только с применением суперсимметрии – в минимальном суперсимметричном расширении Стандартной модели (график b). Объединение трёх фундаментальных сил природы называется «Теорией Великого объединения».
Объединение гравитации с тремя негравитационными силами – проблема №1 современной теоретической физики – называется «Теорией всего». И именно о ней мечтал Альберт Эйнштейн большую часть своей жизни, предпринимая отчаянные попытки её разработки до самой своей
смерти в 1955 г. Однако во времена Эйнштейна не были открыты ни ядерные взаимодействия, ни тем более суперсимметрия. Поэтому «Теория всего» того времени представляла собой объединение только двух сил природы – электромагнетизма и гравитации.
Ответ на вопрос от 3 февраля.
Последовательность вида 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… и т.д., в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих, называется рядом (последовательностью) Фибоначчи.
Не принимая во внимание принципиальную разницу между числом и числовым рядом, как то предписывает математическая строгость (ведь, всё-таки, это научно-популярный блог), при интеллектуальной поддержке Дэна Брауна правильный ответ дал Ian Lemming.
Средний возраст Вселенной 13,798 млрд лет = 13,798 млрд × 365,250 = 5,040 × 1012 дней = 5,040 × 1012 × 24 = 1,210× 1014 часов = 1,210 × 1014 × 60 = 7,257 × 1015 минут = 7,257 × 1015 × 60 = 4,354 × 1017 секунд.
Другими словами, возраст Вселенной не превышает 1018 секунд.
А вот возраст Вселенной в единицах планковского времени – фундаментальной физической единице времени (в каком-то смысле это квант времени): 4,354 × 1017 секунд = 4,354 × 1017 /5,391×10-44 = 8,077 × 1060 планковского времени.
Таким образом, в единицах планковского времени возраст Вселенной не превышает 1061.
ТЭ связывает пять математических констант в простую и изящную формулу:
eπi+1=0,
где:
e – число e, основание натурального логарифма,
i – мнимая единица,
π – число пи, отношение длины окружности к длине её диаметра,
1 – единица, нейтральный элемент по операции умножения,
0 – ноль, нейтральный элемент по операции сложения
Эпизоды моей кротовой норы (включая и этот) выходили не в случайном порядке, а подчиняясь строгой математической закономерности. Интересная числовая последовательность складывается из количества эпизодов в неделю*.
Ответ – во втором сезоне кротовой норы.
* На случай возможных разногласий условимся считать единой системой отсчёта время форума james-bond.ru, установленное по умолчанию для неавторизированных пользователей и соответствующее часовому поясу UTC+3.
До тех пор, пока в утренних сумерках не появится Венера, самая яркая «звезда» в ночном небе – это Юпитер. Видимая звёздная величина – порядка -2 (ярче Сириуса).
Безмассовые частицы – это частицы с массой покоя равной нулю. Это значит, что они не имели бы массы, если бы всё время находились в состоянии покоя. Но безмассовые частицы всегда двигаются только со скоростью света, обладая при этом энергией, равной:
E = hν – энергия одного кванта,
где h – постоянная Планка, ν (греческая буква ню) – частота колебания.
Теперь воспользуемся самой знаменитой в мире формулой, которую я даже не буду пояснять:
E = mc².
Таким образом, hν = mc². Откуда получаем ответ на вопрос из заголовка: m = hν/c². В двух словах это можно выразить так: волна – это энергия, а энергия – это масса.
***
И напоследок несколько расчётов массы фотона для различных длин волн.
Средней длине волны видимого спектра электромагнитного излучения λ = 580 нм (жёлтый свет) соответствует частота колебания
ν = c/λ = 299 792 458 [м/с] / (580 × 10-9 [м]) = 5,1688 × 1014 Гц.
Масса при этом будет равна:
m = hν/c² = 4,1357 × 10-15 [эВ·с] × 5,1688 × 1014 [Гц] /с² = 2,13766 эВ/с²,
что равно примерно 3,8 × 10-36 кг.
Гамма-кванты могут быть в миллионы раз тяжелее (поскольку m в прямой линейной зависимости от ν). Для пикометровой волны частота колебания равна
ν = c/λ = 299 792 458 [м/с] / 10-12 [м] = 2,9979× 1020 Гц, откуда:
m = hν/c² = 4,1357 × 10-15 [эВ·с] × 2,9979 × 1020 [Гц] /с² = 1,2399 МэВ/с²,
что равно примерно 2,2 × 10-30 кг.
А вот какую массу имеют фотоны в вашей микроволновой печи. Для ν =2,45 ГГц получаем:
m = hν/c² = 4,1357 × 10-15 [эВ·с] × 2,45 × 109 [Гц] /с² = 1,0132 × 10-5 эВ/с²,
что равно примерно 1,8 × 10-41 кг.
Для сравнения:
- масса электрона me = 5,1100 × 105 эВ/c² = 9,1 × 10-31 кг.
- масса протона mp = 9,3827 × 108 эВ/c² = 1,7 × 10-27 кг.
- масса бозона Хиггса mH° = 1,2560 × 1011 эВ/c² = 2,2× 10-25 кг.
Гравитация в десять триллионов триллионов раз слабее слабого ядерного взаимодействия и в триллион триллионов триллионов раз слабее электромагнитного (см.табл.). Но почему из четырёх фундаментальных сил гравитация настолько слабее остальных?
Дальше всех в этом вопросе продвинулась М-теория, согласно которой три негравитационных взаимодействия описываются струнами с открытыми концами. Открытые концы струн не могут оставаться свободными – они закреплены на 3-бране (коей является наше 3-мерное пространство). Другими словами, открытые струны навсегда заперты в 3-х измерениях (в том числе и свет, поэтому дополнительные измерения недоступны нам для прямого наблюдения).
Иначе обстоит дело с гравитацией. Гравитон (квант гравитационного поля) описывается в М-теории замкнутой струной, поэтому может свободно перемещаться в многомерном пространстве. Причиной слабости гравитации в 3-мерном пространстве может быть то, что она действует в многомерном пространстве и ослабевает при уменьшении числа измерений.
Закон всемирного тяготения из школьного курса физики:
F = G×m1×m2/R2,
где G – гравитационная постоянная, m1 и m2 – массы двух гравитационно взаимодействующих объектов, R – расстояние между ними.
Обобщённая формула для n-мерного пространства выглядит так:
F = G×m1×m2/R(n-1).
Легко заметить, что при любом R<1 сила гравитации возрастает вместе с n.
И с этой точкой зрения согласны не только струнные теоретики.
Сейчас экспериментаторы активно исследуют так называемое «отклонение от закона обратных квадратов» на сверхмалых масштабах.
Конформное отображение – отображение области D на область D* с сохранением углов. Площади при этом искажаются.
К.О. используется, например, в картографии (см. Картографическая проекция).
Предложенный Вернером Гейзенбергом в 1927 г. принцип неопределённости накладывает некоторое ограничение на точность одновременного измерения двух величин квантовой частицы – скорости и положения в пространстве:
Δx×mΔU≥ħ/2,
где Δx – среднеквадратичное отклонение положения в пространстве;
m – масса частицы;
ΔU – среднеквадратичное отклонение её скорости;
ħ – редуцированная постоянная Планка.
В крайних случаях мы либо знаем всё о скорости частицы и ничего – о её положении в пространстве, либо наоборот. (Отсюда и известная шутка: специалиста по квантовой физике останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но зато я точно знаю, где я!»)
В 1930 г. принцип был обобщён до любой пары сопряжённых переменных.
Квантовая неопределённость не связана с технологическими ограничениями на точность измерений. Дело в том, что, похоже, квантовая частица вообще не имеет никаких определённых параметров до того, как их кто-нибудь измерит.
Принцип неопределённости настолько фундаментален, что его не удалось обойти даже при помощи квантово запутанных частиц, измеряя два сопряжённых параметра обеих частиц.
Тёмная материя – неизвестный вид материи, который взаимодействует с видимой нами материей только гравитационно. Это значит, мы не можем её видеть.
Тёмная энергия – неизвестная сила гравитационного отталкивания, заставляющая нашу вселенную расширяться ускоренно. В отличие от известной нам со времён Ньютона силы гравитационного притяжения, гравитационное отталкивание возрастает с увеличением расстояния между взаимодействующими объектами. Это значит, чем дальше, тем сильнее (и без верхнего ограничения по скорости). Таким образом, наша Вселенная обречена на тепловую смерть.
Гауссова кривизна – мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки.
Слева направо: поверхность с отрицательной гауссовой кривизной (гиперболоид), поверхность с нулевой гауссовой кривизной (цилиндр), и поверхность с положительной гауссовой кривизной (сфера).
Нормальные кривизны в главных направлениях (по образующим): Ki = 1/Ri, где Ri – радиус кривизны.
Кривизна Гаусса: K = K1×K2.
Так для сферы радиусом R: K = K1×K2 = 1/R² >0, где K1 = K2 = 1/R > 0 – постоянная положительная кривизна.
Внутренняя полость сферы: K = K1×K2 = 1/R² >0, где K1 = K2 = –1/R < 0 – так же постоянная положительная кривизна.
Для цилиндрической поверхности: K= K1×K2 = 0, где K1 > 0 (по образующей окружности), K2 = 0 (вдоль оси).
Для гиперболической поверхности: K = K1×K2 <0, где K1 > 0 (по образующей окружности), K2 < 0 (по образующей гиперболе).
По аналогии со сферой существует поверхность постоянной отрицательной кривизны – псевдосфера:
Псевдосфера.
Для псевдосферы K = K1×K2 <0, где K1 > 0 (по образующей окружности), K2 < 0 (по образующей трактрисе).
Если K1 увеличивается (R1 уменьшается), то K2 уменьшается (R2 увеличивается) пропорционально. И наоборот. Поэтому у псевдосферы постоянная отрицательная гауссова кривизна.
Для плоских поверхностей R1 = R2 = +∞, откуда K=0.
Соответственно знаку гауссовой кривизны, изучением искривлённых пространств занимаются три «великие геометрии»:
1. Евклидова геометрия – нулевая кривизна (плоское пространство). Сумма углов треугольника равна 180°;
2. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) – положительная кривизна. Сумма углов треугольника больше 180°;
3. Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) – отрицательная кривизна. Сумма углов треугольника меньше 180°.
Космологическая постоянная – качественная мера тёмной энергии. Теоретически предсказанное значение оказывается больше экспериментально наблюдаемого в 10120 раз. По словам физика-теоретика Ли Смолина, это «наихудшее предсказание, когда-либо сделанное научной теорией».
1. Законы физики гласят: ничто во Вселенной не может превышать скорость света. Данное ограничение не относится к ткани самой Вселенной, которая во всех инфляционных моделях (успешно согласующихся с наблюдательными данными) спустя 10-43 секунд после Большого Взрыва расширялась быстрее скорости света.
2. Квантово запутанные (т.е. определённым образом скоррелированные) частицы передают в пространстве свои квантовые состояния мгновенно (т.е. с бесконечной скоростью), обнаруживая нелокальную природу нашей реальности.
